Формулировка. Дано действительное число x. Вычислить значение экспоненциальной функции (то есть, показательной функции ex, где e – математическая константа, 
) в точке x с заданной точностью eps с помощью ряда Тейлора:
Примечание 1: показательными называются функции вида ax, где a – некоторое действительное число, x – независимая переменная, являющаяся показателем степени.
Примечание 2: ряд Тейлора – это представление функции в виде суммы (возможно, бесконечной) некоторых других функций по особым правилам (требующим детального математического обоснования, что в данном случае нам не нужно).
Решение. Не вникая в теоретическую часть и полагая представленную формулу корректной, попробуем разобраться в том, что же нам необходимо сделать для того, чтобы решить эту задачу:
1) Нам дана некоторая точка на оси Ox, и мы должны вычислить значение функции ex в этой точке. Допустим, если x= 4, то значение функции в этой точке будет равно 
;
2) При этом вычисление необходимо реализовать с помощью заданной бесконечной формулы, в которой прибавление каждого очередного слагаемого увеличивает точность результата;
3) Точность должна составить вещественное число eps, меньшее 1 – это означает, что когда очередное прибавляемое к сумме слагаемое будет меньше eps, то необходимо завершить вычисление и выдать результат на экран. Это условие обязательно выполнится, так как математически доказано, что каждое следующее слагаемое в ряде Тейлора меньше предыдущего, следовательно, бесконечная последовательность слагаемых – это бесконечно убывающая последовательность.
Теперь разберемся с вычислением самого ряда. Очевидно, что любое его слагаемое, начиная со 2-го, можно получить из предыдущего, умножив его на x и разделив на натуральное число, являющееся номером текущего шага при последовательном вычислении (примем во внимание то, что тогда шаги нужно нумеровать с нуля). Значение x нам известно на любом шаге, а вот номер текущего шага (будем хранить его в переменной n) придется фиксировать.
Создадим вещественную переменную expf (от англ. exponential function – экспоненциальная функция) для накопления суммы слагаемых. Будем считать нулевой шаг уже выполненным, так как первое слагаемое в ряду – константа 1, и в связи с этим expf можно заранее проинициализировать числом 1:
expf := 1;
Так как мы начинаем вычисления не с нулевого, а с первого шага, то также нужно инициализировать значения n (числом 1, так как следующий шаг будет первым) и p (в ней будет храниться значение последнего вычисленного слагаемого):
n := 1;
p := 1;
Теперь можно приступить к разработке цикла. С учетом заданной точности eps условием его продолжения будет abs(p) >=eps, где abs(p) – модуль числа p (модуль нужен для того, чтобы не возникло ошибки, если введено отрицательное x).
В цикле необходимо домножить p на x и доделить его на текущий номер шага n, чтобы обеспечить реализацию факториала в знаменателе, после чего прибавить новое слагаемое p к результату expf и увеличить n для следующего шага:
while abs(p) >= eps do begin
p := p * x / n;
expf := expf + p;
inc(n)
end;
После выхода из цикла нужно осуществить форматированный вывод результата expf на экран с некоторым количеством цифр после точки, например, пятью. Отметим, что если при этом введенное eps содержало меньше 5 цифр после точки, то сформированное значение expf будет, соответственно, неточным.
Код:
- program ExpFunc;
- var
- x, eps, expf, p: real;
- n: word;
- begin
- readln(x, eps);
- expf := 1;
- n := 1;
- p := 1;
- while abs(p) >= eps do begin
- p := p * x / n;
- expf := expf + p;
- inc(n)
- end;
- writeln(expf:0:5)
- end.